Übungsbereich · Formelsammlung

Geometrie auf zwei Seiten

Alle Formeln für Umfang, Fläche und Volumen, die Du an der ZAP brauchst, dazu die Einheiten-Treppen. Zum Nachschlagen am Bildschirm oder ausgedruckt neben dem Heft.

Länge, Fläche, Volumen im Überblick

	Länge	Fläche	Volumen
Was wird gemessen?	eine Strecke: Seite, Höhe, Umfang, Diagonale	der Inhalt einer Figur: wie viele Einheitsquadrate hineinpassen	der Inhalt eines Körpers: wie viele Einheitswürfel hineinpassen
Einheit	mm, cm, dm, m, kmeine Länge	mm², cm², dm², m², a, ha, km²Länge · Länge	mm³, cm³, dm³, m³ und ml, dl, l, hlLänge · Länge · Länge
Faktor pro Stufe	· 10 (km zu m: · 1'000)	· 100	· 1'000 (Hohlmasse: · 10, hl zu l: · 100)
Typische Formel	Umfang = Summe aller Seiten	Fläche = Grundseite · Höhe (Dreieck: davon die Hälfte)	Volumen = Grundfläche · Höhe (Pyramide: davon ein Drittel)
Beispiel	3 m = 30 dm = 300 cm	3 m² = 300 dm² = 30'000 cm²	3 m³ = 3'000 dm³ = 3'000 l
Buchstaben	\(a, b, c\) Seiten · \(g\) Grundseite · \(h\) Höhe · \(d\) Diagonale · \(U\) Umfang	\(A\) Fläche · \(G\) Grundfläche · \(M\) Mantel · \(O\) Oberfläche	\(V\) Volumen · \(h\) Körperhöhe, immer senkrecht zur Grundfläche

Einheiten umrechnen

nach rechts · mal, nach links · geteilt

LängeFaktor 10 · zwischen km und m 1'000

km· 1'000: 1'000 m· 10: 10 dm· 10: 10 cm· 10: 10 mm

Jede Stufe ein Komma-Schritt: 2.5 m = 25 dm = 250 cm = 2'500 mm.

GewichtFaktor 1'000 · auf jeder Stufe

t· 1'000: 1'000 kg· 1'000: 1'000 g· 1'000: 1'000 mg

Zwischen t, kg, g und mg immer 1'000: 2.5 kg = 2'500 g.

FlächeFaktor 100 · jede Stufe zählt doppelt

km²· 100: 100 ha· 100: 100 a· 100: 100 m²· 100: 100 dm²· 100: 100 cm²· 100: 100 mm²

1 a (Are) = 100 m², 1 ha (Hektar) = 100 a = 10'000 m². Zwei Komma-Schritte pro Stufe: 3.5 m² = 350 dm² = 35'000 cm².

VolumenFaktor 1'000 · jede Stufe zählt dreifach

m³· 1'000: 1'000 dm³· 1'000: 1'000 cm³· 1'000: 1'000 mm³

HohlmasseFaktor 10 · zwischen hl und l 100

hl· 100: 100 l· 10: 10 dl· 10: 10 cl· 10: 10 ml

Die Brücke zwischen beiden Treppen: 1 l = 1 dm³, 1 ml = 1 cm³, 1 m³ = 1'000 l. Drei Komma-Schritte pro Stufe: 0.4 m³ = 400 dm³ = 400 l.

ZeitFaktoren 24, 60 und 60

d· 24: 24 h· 60: 60 min· 60: 60 s

Die einzige Grösse ohne Zehnerfaktoren: 1.5 h = 90 min.

Umfang und Fläche

Höhe immer senkrecht zur Grundseite

Quadrat

Umfang\(U = 4 \cdot a\)

Fläche\(A = a \cdot a = a^2\)

Rückwärts: \(a = U : 4\) · aus \(A\) die Seite: welche Zahl mal sich selbst gibt \(A\)?

Rechteck

Umfang\(U = 2 \cdot (a + b)\)

Fläche\(A = a \cdot b\)

Auch \(U = 2a + 2b\). Rückwärts: \(b = A : a\) · halber Umfang \(U : 2 = a + b\).

Dreieck

Umfang\(U = a + b + c\)

Fläche\(A = \dfrac{g \cdot h}{2}\)

Halbes Parallelogramm. Jede Seite kann Grundseite sein, die Höhe steht senkrecht darauf. Rechtwinklig: die Katheten sind Grundseite und Höhe, \(A = \dfrac{a \cdot b}{2}\).

Parallelogramm

Umfang\(U = 2 \cdot (g + b)\)

Fläche\(A = g \cdot h\)

Ein Dreieck umlegen, und es wird zum Rechteck. \(h\) ist der senkrechte Abstand der parallelen Seiten, nicht die schräge Seite \(b\).

Trapez

Umfang\(U = a + b + c + d\)

Fläche\(A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h\)

Mittlere Länge der beiden parallelen Seiten mal Höhe. Rückwärts: \(h = \dfrac{2A}{a + c}\).

Raute Rhombus

Umfang\(U = 4 \cdot a\)

Fläche\(A = \dfrac{e \cdot f}{2}\)

Alle vier Seiten gleich lang, die Diagonalen halbieren sich rechtwinklig. Auch \(A = g \cdot h\) wie beim Parallelogramm.

Drachen Deltoid

Umfang\(U = 2a + 2b\)

Fläche\(A = \dfrac{e \cdot f}{2}\)

Symmetrisch zur Diagonalen \(f\), die Diagonalen stehen senkrecht. Gleiche Formel wie die Raute.

Zusammengesetzte Figuren

ZerlegenFigur in Rechtecke, Dreiecke und Trapeze aufteilen, Trennlinien einzeichnen, Teilflächen berechnen und addieren.

ErgänzenFigur zu einem Rechteck vervollständigen, dann die zu viel gezählten Teile subtrahieren.

UmfangNur den Rand abschreiten: innere Trennlinien zählen nicht. Fehlende Randstücke aus den gegebenen Längen ableiten.

KontrolleEinheit hinschreiben (cm bei Umfang, cm² bei Fläche) und die Grössenordnung prüfen.

Volumen und Oberfläche

Grundfläche G · Höhe h senkrecht dazu

Würfel

Volumen\(V = a \cdot a \cdot a = a^3\)

Oberfläche\(O = 6 \cdot a^2\)

6 gleiche Quadrate. 8 Ecken, 12 Kanten, 6 Flächen. Rückwärts: aus \(V\) die Kante: welche Zahl hoch 3 gibt \(V\)?

Quader

Volumen\(V = a \cdot b \cdot c\)

Oberfläche\(O = 2 \cdot (ab + bc + ac)\)

Drei Paare gleicher Rechtecke. Volumen auch als Grundfläche · Höhe: \(V = (a \cdot b) \cdot c\).

Prisma

Volumen\(V = G \cdot h\)

Oberfläche\(O = 2 \cdot G + U \cdot h\)

Grund- und Deckfläche sind gleich, die Seitenflächen Rechtecke. \(U \cdot h\) ist der abgewickelte Mantel (\(U\) = Umfang der Grundfläche). Würfel und Quader sind Prismen.

Pyramide

Volumen\(V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h\)

Oberfläche\(O = G + M\)

Ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe. \(h\) ist die Höhe zur Spitze, nicht die Seitenkante \(s\). Der Mantel \(M\) ist die Summe der Seitendreiecke.

Ecken, Kanten, Flächen

Körper	Ecken	Kanten	Flächen
Würfel, Quader	8	12	6
\(n\)-seitiges Prisma	\(2n\)	\(3n\)	\(n + 2\)
\(n\)-seitige Pyramide	\(n + 1\)	\(2n\)	\(n + 1\)

ProbeEulersche Beziehung \(E - K + F = 2\) gilt für alle diese Körper. NetzAlle Flächen aufgeklappt in der Ebene; die Oberfläche ist die Summe der Netzflächen. Von den Würfelnetzen sind 11 verschiedene möglich, gegenüberliegende Flächen sind im Netz nie benachbart.

Längen berechnen mit Pythagoras

nur im rechtwinkligen Dreieck

Satz des Pythagoras

Satz\(a^2 + b^2 = c^2\)

Hypotenuse\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Kathete\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)

\(c\) liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite. Hypotenuse: addieren unter der Wurzel, Kathete: subtrahieren. Umkehrung: gilt \(a^2 + b^2 = c^2\) für die längste Seite \(c\), ist das Dreieck rechtwinklig.

Diagonalen

Rechteck\(d = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Quadrat\(d = \sqrt{2 \cdot a^2} = a \cdot \sqrt{2}\)

Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; die Seiten sind die Katheten. Genauso bei jeder Höhe, die eine Figur in rechtwinklige Dreiecke zerlegt.

Pythagoras im Raum

Quader\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)

Pyramide\(h = \sqrt{s^2 - \left(\tfrac{1}{2} d_G\right)^2}\)

Zweimal Pythagoras: erst die Flächendiagonale \(d_G = \sqrt{a^2 + b^2}\) in der Grundfläche, dann mit der Höhe \(c\) die Raumdiagonale. Bei der Pyramide: Seitenkante \(s\), halbe Grunddiagonale und Höhe \(h\) bilden das rechtwinklige Dreieck.

Satz des Thales

SatzLiegt \(C\) auf dem Kreis mit Durchmesser \(AB\), ist der Winkel bei \(C\) ein rechter Winkel.

Umgekehrt: jedes rechtwinklige Dreieck passt mit seiner Hypotenuse als Durchmesser in einen Kreis. \(M\) ist der Mittelpunkt von \(AB\), der Radius ist \(\tfrac{1}{2} \cdot AB\).

Formeln umstellen

Rückwärtsaufgaben

Rechteck\(A = a \cdot b \;\Rightarrow\; b = \dfrac{A}{a}\)
\(U = 2(a + b) \;\Rightarrow\; b = \dfrac{U}{2} - a\)

Dreieck\(A = \dfrac{g \cdot h}{2} \;\Rightarrow\; h = \dfrac{2A}{g}\)
\(g = \dfrac{2A}{h}\)

Trapez\(A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{2A}{a + c}\)
\(c = \dfrac{2A}{h} - a\)

Quader\(V = a \cdot b \cdot c \;\Rightarrow\; c = \dfrac{V}{a \cdot b}\)

Prisma, Pyramide\(V = G \cdot h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{V}{G}\)
\(V = \tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{3V}{G}\)

VorgehenErst die gesuchte Grösse allein auf eine Seite bringen, dann einsetzen. Am Ende die Einheit prüfen: Fläche durch Länge gibt Länge.

Bezeichnungen wie im Skript Kapitel 3: \(g\) und \(h\) für Grundseite und Höhe, \(e\) und \(f\) für die Diagonalen, \(G\) für die Grundfläche eines Körpers. Kreis, Zylinder und Kegel sind nicht Teil der ZAP 2 und fehlen hier bewusst.